機械臂座標系統與齊次矩陣

剛體於二維平面中擁有3個自由度，分別為2個平移自由度及1個旋轉自由度。於三維空間中，則擁有6個自由度，3個自由度定義位置(x,y,z)，3個自由度定義方位(Roll,Pitch,Yaw)。在機械手臂中，每個關節由一個馬達帶動，定義為一個剛體，各自擁有獨立座標系統，每個座標系統由一個矩陣表示，機械手臂完成系統平移及旋轉則由矩陣相乘呈現。原座標位置須平移則乘以對應的平移矩陣，旋轉則需使用旋轉矩陣。

旋轉矩陣有九個元素，但由於仍須符合幾何上之6個限制條件，故非九個自由度。其中包含以下兩個特性：旋轉矩陣反矩陣等於轉置矩陣，det(R)=1

常用對於X,Y,Z 軸旋轉之基本矩陣：

當連續旋轉時使用矩陣相乘，計算方式分成前乘與後乘分別代表不同幾何意義：

i.前乘：Ry(θ) Rx(θ) 先對x軸旋轉，再對原始固定座標y旋轉

ii.後乘：Rx(θ) Ry(θ) 先對x軸旋轉，再對旋轉後之新座標之y軸旋轉

齊次轉換矩陣則同時呈現旋轉(R)、平移(P)、透視(q)及放大(S)

三維旋轉矩陣可使用三次連續基本旋轉矩陣合成，其中常使用對X,Y,Z軸及特殊角進行描述，以下為三大連續基本旋轉矩陣合成：

1. Roll-Pitch-Yaw尤拉角  :使用x,y,z軸特殊角描述

2. z-y-z尤拉角:使用兩次z軸，但只要z軸非連續相乘則與使用三個基本軸意義相同




3.對三度空間中對任意旋轉軸 k 旋轉，轉任意角，需使用嚴謹的幾何關係呈現